籌算：小棍上的中國(guó)古代數(shù)學(xué)智慧

【科技文明探源】

◎本報(bào)記者 孫明源

今人眼中看似簡(jiǎn)單的數(shù)字，其實(shí)是人類數(shù)學(xué)發(fā)展數(shù)萬(wàn)年的智慧結(jié)晶。如何表示數(shù)、記錄數(shù)，采用何種進(jìn)制，直接決定了數(shù)學(xué)運(yùn)算、應(yīng)用乃至記錄傳承下去的方式。阿拉伯?dāng)?shù)字具有進(jìn)位明確、便于書寫等優(yōu)點(diǎn)，成為現(xiàn)代世界通用的計(jì)數(shù)符號(hào)。

阿拉伯?dāng)?shù)字其實(shí)是印度人的發(fā)明，因?yàn)榻?jīng)阿拉伯人傳入歐洲而得名。學(xué)術(shù)界稱為印度—阿拉伯?dāng)?shù)字。在印度人這一發(fā)明之前，中國(guó)就發(fā)展出了一套實(shí)用、完善的記數(shù)系統(tǒng)——算籌記數(shù)法。中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所研究員鄒大海表示，算籌是中國(guó)古代常用的計(jì)算工具，也叫算、籌、策、籌策、算子等。用算籌來(lái)記數(shù)和計(jì)算以及相應(yīng)的方法，稱為籌算。籌算是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的特色。

在古代，中國(guó)數(shù)學(xué)是東亞數(shù)學(xué)的代表，在世界數(shù)學(xué)史上具有鮮明特色。鄒大海認(rèn)為，相比于其他地區(qū)的古代數(shù)學(xué)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)以計(jì)算和算法見長(zhǎng)，其主要原因之一就是普遍采用籌算，不僅產(chǎn)生了先進(jìn)的記數(shù)法，而且有一套表示未知量和代數(shù)式的方法，它以獨(dú)特的方式實(shí)現(xiàn)了代數(shù)符號(hào)的功能。

十進(jìn)位值制記數(shù)法最早出現(xiàn)在中國(guó)

進(jìn)制是數(shù)學(xué)的基本概念之一，其含義是“累計(jì)若干個(gè)基本單位即形成下一個(gè)單位”。人們比較熟悉的進(jìn)制包括最常見的十進(jìn)制、用于時(shí)間和角度計(jì)量的六十進(jìn)制、計(jì)算機(jī)領(lǐng)域常見的二進(jìn)制和十六進(jìn)制等。

進(jìn)制的基礎(chǔ)上發(fā)展出了位值制觀念，即數(shù)字所在的位置可以表示該數(shù)字單位對(duì)應(yīng)的倍數(shù)。例如在阿拉伯?dāng)?shù)字5234當(dāng)中，5所在的位置是“千”位，表示5個(gè)千，而2、3、4在“百”“十”“個(gè)”位，分別表示2個(gè)百、3個(gè)十、4個(gè)一。許多記數(shù)系統(tǒng)沒有位值制觀念，例如古埃及數(shù)字由于沒有位值制觀念，顯得非常繁瑣。

鄒大海介紹，十進(jìn)制最早見于古埃及；位值制最早見于古代兩河流域，那里的人采用了六十進(jìn)的位值制；而現(xiàn)代通行的十進(jìn)位值制記數(shù)法則最早起源于中國(guó)。

中國(guó)人很早就采用了十進(jìn)制，中國(guó)漢字的數(shù)字記法就是十進(jìn)制系統(tǒng)。一既是基本數(shù)字，也是數(shù)字單位，此外常見的數(shù)字單位有十、百、千、萬(wàn)、億、兆、京等。

例如“一兆八千五百三十億二千一十八萬(wàn)八千八百五十一”這個(gè)數(shù)，只要把空著的數(shù)位用〇代替，將兆、億、萬(wàn)、千、百、十等數(shù)字單位撤去，就變成“一八五三〇二〇一八八八五一”，這與現(xiàn)代的“1853020188851”一一對(duì)應(yīng)。可見，中國(guó)文字記數(shù)法是相當(dāng)先進(jìn)的，可以很容易跟通行的阿拉伯?dāng)?shù)字表示法進(jìn)行轉(zhuǎn)化。但是，中國(guó)文字表示法只是準(zhǔn)十進(jìn)位值制，尚不完善。真正采用十進(jìn)位值制的是算籌記數(shù)法。公元14世紀(jì)以前，算籌曾是廣泛使用的計(jì)算工具，之后就逐漸被算盤所取代。

算籌的形象類似筷子，源于遠(yuǎn)古人們用長(zhǎng)條形小棍計(jì)數(shù)的習(xí)慣。用算籌表示一至九有縱、橫兩種形式。

《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》說：“滿六以上，五在上方，六不積算，五不單張。”意思是，對(duì)于一到五，是幾就用幾根算籌表示；對(duì)于六到九，則將其中所含的五用一根算籌放在上面表示，余下幾就用幾根算籌與之垂直放在下面就可以了。比如╥表示七，上面一根表示五、下面兩根表示二。

對(duì)于多位數(shù)，《孫子算經(jīng)》記有其算籌表示法：“凡算之法，先識(shí)其位。一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬(wàn)百相當(dāng)。”古人在個(gè)位擺縱式，十位擺橫式，百位又用縱式，千位又用橫式，如此縱橫交錯(cuò)進(jìn)行。鄒大海強(qiáng)調(diào)，本來(lái)只用兩式的一種就夠了，但縱橫交錯(cuò)的方法更為清晰，也不容易弄亂。算籌記數(shù)法大約產(chǎn)生于西周、春秋之際，也可能更早。在出土的先秦陶片和貨幣上可以看到這種記數(shù)法的痕跡。

籌算具有強(qiáng)大的記數(shù)和運(yùn)算功能

籌算加減法比較簡(jiǎn)單，古人沒有記載。對(duì)于復(fù)雜的乘除法，古人將算籌擺成三行，中行為乘積或被除數(shù)，下行為乘數(shù)或除數(shù)，上行為被乘數(shù)或商。利用九九口訣與算籌記數(shù)法相配合，就可以得出結(jié)果。這個(gè)過程在本質(zhì)上與現(xiàn)代的豎式乘除法很接近。

籌算還可以求解線性方程組，在公元前1世紀(jì)成書的《九章算術(shù)》中，用一種稱為“方程”的方法來(lái)表示問題和求解，其表達(dá)方式和運(yùn)算方法都跟現(xiàn)代的增廣矩陣很相似，而求解線性方程組的增廣矩陣方法在歐洲是18、19世紀(jì)之交才出現(xiàn)的。鄒大海介紹，在籌算的方程中，不同位置具有指示不同未知量和常數(shù)項(xiàng)的作用，相當(dāng)于現(xiàn)代的分離系數(shù)法。正是方程導(dǎo)致了正負(fù)數(shù)概念的產(chǎn)生，古代一般用黑色和紅色的算籌分別表示負(fù)數(shù)和正數(shù)。

《九章算術(shù)》也用籌算來(lái)開平方、開立方，還用來(lái)求一元二次方程的解。這種方法不斷發(fā)展，到宋代已形成了一套求一元高次方程數(shù)值解的方法。宋元時(shí)代還發(fā)展出列方程的普遍方法，先是出現(xiàn)了針對(duì)一個(gè)未知量求解的天元術(shù)，后來(lái)發(fā)展到最多可達(dá)四個(gè)未知量的高次方程組的列法與解法——四元術(shù)，用天、地、人、物指示未知量。鄒大海強(qiáng)調(diào)，這種方法所列出的算式中除算籌和個(gè)別漢字“太”或“元”外，不使用符號(hào)，而是通過位置來(lái)體現(xiàn)未知量及其冪，實(shí)現(xiàn)了代數(shù)符號(hào)的功能，這在某些方面甚至比現(xiàn)代的符號(hào)方法更具優(yōu)勢(shì)。

中國(guó)古代以文字和籌算配合，使得數(shù)學(xué)工作得以開展并傳承。籌算以其強(qiáng)大的記數(shù)、符號(hào)和運(yùn)算功能，在中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中發(fā)揮了重大的作用。

后來(lái)隨著商業(yè)的發(fā)展，籌算捷法和相應(yīng)的口訣發(fā)展起來(lái)，之后籌算被珠算取代。珠算通過沿用、改良籌算的口訣和方法，在商業(yè)、會(huì)計(jì)和日常生活中發(fā)揮著巨大的作用。

但籌算也有其局限性。鄒大海指出，籌算的缺點(diǎn)之一是無(wú)法保留演算的過程，中間操作有誤就難以追溯。二是算籌使用起來(lái)比較占地方。三是較難實(shí)現(xiàn)超過四元的列式和運(yùn)算。

籌算影響中國(guó)傳統(tǒng)文化

明代天元術(shù)、四元術(shù)等失傳，籌算被珠算、筆算取代，但其方法和思想仍在數(shù)學(xué)發(fā)展中發(fā)揮作用，甚至已滲透到中國(guó)思想文化的方方面面。

鄒大海強(qiáng)調(diào)，籌算的重要意義在于制訂和利用一系列規(guī)則和方法。籌算靠的主要是智力，并特別講究精準(zhǔn)，所以在中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多反映智力活動(dòng)的用語(yǔ)都與籌算有關(guān)。比如謀劃叫“運(yùn)籌”“籌劃”，用“運(yùn)籌帷幄，決勝千里”表示指揮官在后方謀劃得好讓前線取得勝利。又如考慮得周全叫“算無(wú)遺策”“胸有成算”，而謀劃失誤則叫“失算”“失策”。其他如人們常說的“算計(jì)”“暗算”“盤算”“算命”“勝算”等詞匯，皆源自古代的籌算思維。

“古人充分發(fā)掘算籌記數(shù)法中的位置功能，并用算籌來(lái)表示代數(shù)式，設(shè)計(jì)相應(yīng)的運(yùn)算方法，形成了中國(guó)古代獨(dú)具特色的籌算傳統(tǒng)。中國(guó)古代的算術(shù)和代數(shù)在世界上曾處于先進(jìn)乃至領(lǐng)先地位，與籌算有很大關(guān)系。籌算是中華文化的重要組成部分，籌算的思維也對(duì)社會(huì)文化和人們的生活產(chǎn)生了一定影響。”鄒大海說。（科技日?qǐng)?bào)）